Concept(s)-clé(s) et théorie¶
DÉFINITION 1 :¶
On dit qu'une matrice $A$ est carrée si elle est de taille $n\times n$ pour un certain entier $n\in \mathbb{N}^*,$ c'est-à-dire si elle possède le même nombre de lignes que de colonnes.
Une matrice est dite inversible s'il existe une matrice $B\in \mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R})$ telle que: \begin{equation*} AB=I_n=BA \end{equation*} où $I_n$ représente la matrice d'identité avec $n$ lignes et $n$ colonnes. Dans ce cas, on dit que $B$ est l'inverse de la matrice $A$. On note l'inverse de $A$ par $A^{-1}$.
Remarque Une matrice inversible est forcément carrée car les produits matriciels $AB$ et $BA$ existent et sont égaux (ils valent $I_n$). Pour la définition du produit matriciel, voir 2.2 Multiplication de matrices.
DÉFINITION 2 :¶
Soit $A$ une matrice de taille $m\times n$ à coefficients réels. La diagonale principale de $A$ est la "ligne oblique" formée des composantes $(i,i)$ de $A.$
DÉFINITION 3 :¶
On dit d'une matrice $A=(a_{ij})\in \mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$ qu'elle est:
$\bullet$ triangulaire supérieure si $a_{ij}=0$ pour tout $i>j$;
$\bullet$ triangulaire inférieure si $a_{ij}=0$ pour tout $i<j$;
$\bullet$ diagonale si elle est carrée (i.e. $m=n$) et $a_{ij}=0$ pour tous $1\leq i,j \leq n$ tels que $i\neq j;$
$\bullet$ symétrique si elle est carrée et $a_{ij}=a_{ji}$ pour tous $i,j$. Dans ce cas $A=A^T.$
import Librairie.AL_Fct as al
import Corrections.corrections as corrections
import numpy as np
from numpy.linalg import *
Exercice 1¶
Soit $A$ la matrice donnée par $$ A=\begin{pmatrix} -2 & 4/3 & -1\\ 0 & 3 & -5\\ 1/2 & 1 & 1/2 \end{pmatrix}. $$
Trouver une matrice $B$ et une matrice $C$ telles que:
- $A + B$ soit diagonale;
- $A + C$ soit symétrique mais non diagonale.
# Reportez ici les matrices B et C
A=[[-2, 4/3,-1],[0,3,-5],[1/2,1,1/2]]
B=[[0,0,0],[0,0,0],[0,0,0]]
C=[[0,0,0],[0,0,0],[0,0,0]]
print('La matrice B entrée est:')
al.printA(B)
print('La matrice C entrée est:')
al.printA(C)
La matrice B entrée est:
La matrice C entrée est:
corrections.Ex1Chapitre2_3(A,B,C)
Exemple 1¶
Dans ce exemple, nous allons voir comment trouver l'inverse d'une matrice $A\in \mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R})$. Nous commençons par considérer la matrice augmentée $(A|I)$ et lui appliquer des opérations élémentaires. Nous allons transformer $(A|I)$ en la nouvelle matrice augmentée $(I|\tilde{A})$. À la place de la matrice $A$ nous aurons la matrice identité $I$ et, en même temps, à la place de $I$ nous aurons une matrice $\tilde{A}$ de taille $n\times n$. Cette matrice $\tilde{A}$ est enfait l'inverse de $A$. Nous avons le schéma suivant $$ (A|I) \sim \quad \stackrel{\text{op. élémentaires}}{\ldots\ldots\ldots} \quad\sim (I|A^{-1}) $$
Remarque Cet algorithme n'est rien d'autre que l'algorithme de Gauss expliqué dans le chapitre . La forme échelonnée réduite de la matrice $A$ sera l'identité $I$. Il s'agira d'une des propriétés des matrices inversibles. Nous pouvons donc reformuler l'algorithme ci-dessus de la manière suivante: appliquer à $(A|I)$ des opérations élémentaires jusqu'à obtenir la forme échelonnée de la matrice $A$ à gauche. L'inverse de la matrice $A$ sera la matrice obtenue à droite.
Nous allons effectuer cette méthode à la matrice $A$ donnée par
$$
A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
0 & -1 & 0\\
0 & 2 & 3
\end{pmatrix}.
$$
Nous allons trouver l'inverse de $A$ en appliquant, à la matrice $(A|I)$, les opérations élémentaires suivantes:
- $L_1-L_3$
- $(-1)L_2$
- $L_3-2L_2$
- $\dfrac{1}{3}L_3$
où $L_i$ représente la i-ème ligne de la matrice $(A|I)$.
#Entrez les matrices A et I
A=[[1,2,3],[0,-1,0],[0,2,3]]
I=[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]
print("Appliquer les opérations élémentaires données pour obtenir l'identité à gauche (la forme échelonnée de A).\n"
"L'inverse de A se trouvera alors à droite, la où il y avait"
"à l'origine la matrice identité I.")
al.printA(A,I)
[i,j,r,alpha]= al.manualEch(A,I)
m=np.concatenate((A,I), axis=1)
MatriceList=[A]
RhSList=[I]
Appliquer les opérations élémentaires données pour obtenir l'identité à gauche (la forme échelonnée de A). L'inverse de A se trouvera alors à droite, la où il y avaità l'origine la matrice identité I.
Régler les paramètres et évaluer la cellule suivante Répéter cela jusqu'à obtenir une forme échelonnée réduite
m=al.echelonnage(i,j,r,alpha,A,m,MatriceList,RhSList)
print('La matrice inverse de A est donnée par: ' )
al.printA(inv(A))
print('Le produit entre A et son inverse est en effet égal à: ')
I=np.dot(A,inv(A))
al.printA(I)
La matrice inverse de A est donnée par:
Le produit entre A et son inverse est en effet égal à:
Exercice 2¶
Soit $A$ la matrice ci-dessous $$ A=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 3 & \dfrac{1}{2} & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}. $$
Laquelle des affirmations ci-dessous est correcte?
corrections.Ex2Chapitre2_3()